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Considera la legge oraria
Mostra che la traiettoria è parte di una curva di equazione cartesiana
x2 = 16y2 – 16y4. Disegnala con
l'aiuto della calcolatrice grafica.
Ricordando che se s = A·cos(ω·t+φ) è la legge oraria di un moto armonico allora
v = ωA·sin(ω·t+φ) è la sua velocità nel tempo, e che in un moto curvilineo
il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria, trova l'equazione della retta
tangente alla traiettoria del moto assegnato per t=π e il modulo della velocità.
Poiché l'equazione
4sin2t = 16cos2(t/2) – 16cos4(t/2)
equivale a
4sin2t = 16cos2(t/2)(1 – cos2(t/2))
4sin2t = 16cos2(t/2)·sin2(t/2)
4sin2t = 4·(2cos(t/2)·sin(t/2))2
è sempre verificata, quindi il corpo in movimento sta sempre sulla curva di equazione
cartesiana data.
Con la calcolatrice grafica, in MODE/Graph/Parametric:
Le componenti delle velocità in un certo istante sono
Dunque la pendenza della retta tangente alla traiettoria è vy/vx,
nell'istante π quando la posizione è (0;0), vale
mentre il modulo della velocità è
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Risolvi con almeno due metodi l'equazione sin|x| = cos|x| + 1
L'equazione può essere sottoposta a una sequenza di trasformazioni
che ne cambiano solo la forma:
sin|x| - cos|x| = 1
Ö2·sin(|x|-π/4) = 1
sin(|x|-π/4) = Ö2/2
Quindi
|x|-π/4 = π/4 + 2kπ Ú |x|-π/4 = 3π/4 + 2kπ
|x| = π/2 + 2kπ con k³0 Ú |x| = π + 2kπ con k³0
x = ±(π/2 + 2kπ) con k³0 Ú x = ±(π + 2kπ) con k³0
Alternativamente, posto X=cos|x| e Y=sin|x|, occorre analizzare il sistema
seguente, rappresentabile geometricamente
dal quale ricaviamo immediatamente senza calcoli
solamente guardando la figura
|x| = π/2 + 2kπ con k³0 Ú |x| = π + 2kπ con k³0
e dunque, con gli stessi passaggi di prima,
x = ±(π/2 + 2kπ) con k³0 Ú x = ±(π + 2kπ) con k³0
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Disegna il grafico della funzione 1 – sin|x| + cos|x| ricavandolo
dal grafico di una funzione goniometrica elementare mediante opportune
trasformazioni geometriche elementari. Determina poi quale valore massimo
assume la funzione e per quali valori della variabile indipendente. Determina
infine le ascisse dei punti del grafico che hanno ordinata 2.
Innanzitutto riscriviamo la funzione equivalentemente
1 – Ö2·sin(|x|-π/4)
Si può ottenere il grafico di questa funzione a partire da quello di sinx:
Le trasformazioni elementari applicate sono rispettivamente, ad esempio:
traslazione di direzione x in verso positivo di π/4
dilatazione lungo l'asse y di un fattore Ö2
simmetria di asse x
traslazione di direzione y in verso positivo di 1
sostituzione della parte del grafico a sinistra dell'asse y con
la simmetrica della parte del grafico a destra dell'asse y.
Il valore massimo della funzione, 1+Ö2, si ha per sin(|x|–π/4) = –1
cioè |x|–π/4 = –π/2+2kπ
ovvero
|x| = –π/4+2kπ con k>0
x = ±(2kπ – π/4) con k>0
Infine
1 – Ö2·sin(|x|–π/4) = 2
per
sin(|x|–π/4) = –1/Ö2
cioè
|x|–π/4 = –π/4+2kπ Ú |x|–π/4 = –3π/4+2kπ
da cui
|x| = 2kπ con k³0 Ú |x| = –π/2+2kπ con k>0
e infine
x = 2kπ Ú x= ±(2kπ – π/2) con k>0
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Risolvi graficamente sulla circonferenza goniometrica l'equazione
Esprimi anche in forma esatta le soluzioni facendo uso della funzione inversa della funzione cos.
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Costruiamo innanzitutto gli angoli 2x – π/3
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Poi gli angoli 2x aggiungendo π/3 ai precedenti
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Infine x attraverso le bisettrici
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Con espressioni analitiche:
2x – π/3 = ± cos-1(–1/3) + 2kπ
2x = ± cos-1(–1/3) + π/3 + 2kπ
x = ± cos-1(–1/3)/2 + π/6 + kπ
